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如何计算弹簧的弹性势能

来源:
时间:2024-08-17 14:06:25
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如何计算弹簧的弹性势能【专家解说】:弹簧的弹性势能表达式E=(12)*kx^2
设想在重力作用下,一个物体缓慢从地面升至高度h处。
在有限高度内,重力可视为恒量mg。不随高度的变

【专家解说】:弹簧的弹性势能表达式E=(1/2)*kx^2 设想在重力作用下,一个物体缓慢从地面升至高度h处。 在有限高度内,重力可视为恒量mg。不随高度的变化而变化。 因此 重力对物体所做的功为 -mgh。(重力与位移方向相反,所以功为负) 重力属于保守力,保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量。 因此,重力势能的表达式为 mgh。(以地面为势能零点) ------------------------------ 而对一个弹性系统,弹性恢复力 F = - kx。 (k为弹性恢复系数,x表示离开平衡位置的距离)。 与重力不同,弹性恢复力不是常量,随着位移x的变化而变化。 因此 这个题目需要微积分知识的基础。 距离平衡位置为x时,恢复力为 F = -kx,负号表示恢复力的方向是指向平衡位置。其中k为弹性恢复系数。 从平衡位置 到达x位置,恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分。即 W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 (从0到x)= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2 恢复力属于弹性系统的内力,和重力一样,也属于保守力。 保守力所做的功 = 保守势能变化的负值 以平衡位置为势能零参考点。因此 弹性势能 E = -W = kx^2/2 =================================================== 做 F---x 关系曲线。从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线。 那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形。 这个图形的面积 就是 力F所做的功 W。 上面讲的这段 在中学 接触过没?如果没有的话,那就直接承认。对于知识储备不足而尚不能证明的理论,先暂且直接承认,这也是常用的学习方法。 对于本题目, 以 弹性力 F = -kx 作为y轴, 以 伸缩量 x 作为 x轴 F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线。 经从该直线的起点和终点向x轴做投影后,得到第四象限的一个三角形。 三角形的面积为 S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2 由于力的方向与位移方向相反(同时也因为是在x轴下方),所以 F所做的功是面积的负值,即 W = -S = -kx^2/2 而弹性势能为 E = -W = kx^2/2 ---------------------------------------------------- 为什么说图像的面积就是弹簧弹性势能呢? 弹性势能的公式是中学阶段一个非常“基本”的物理公式,但在教科书上却见不到其推导过程。原因就在于其推导过程超出了中学生的知识范围。 求知欲强的学生 总是希望能知道其推导过程。但是把推导过程给出后,因为知识基础不够用,所以看不懂,会产生各种疑问。当这些疑问解决不了的时候,希望不要心急,因为你的知识储备不足。 简单回答你的疑问。 因变量F作为自变量x的函数,该曲线下的面积 就是 F所做的功。这是一个数学结论。 你可以设想,假设 F 是一个常量。那么经过位移 x-x0后,F所做的功就是 F*(x-x0)。现在把这个结论数学化! 依然做 F-x函数图象。那么图象是一条与 x 轴平行的直线。该直线距离x轴的距离就是F。因此 功 F(x-x0) 就在该函数图象上对应着 一个矩形的面积,而该矩形由从F直线的起点和终点向x轴做投影而形成。 上一段讨论中 F 是一个常量。F所做的功的表达式也因此很简单。而当 函数图象不在是与x轴平行时,F所做的功就等于 F关于x的积分。而“积分”这个数学概念在中学阶段还没有接触,所以你会很难理解。而在数学上,“积分”的结果依然是函数曲线向x轴做投影后所围成的图形的面积。
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